Was sind Matrizen und wie wird damit gerechnet?

eine Matrix

In aller Kürze: Matrizen sind in Klammern eingeschlossene Tabellen (oft mit reellen Zahlen) in rechteckiger Anordnung. Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten wird m×n Matrix genannt. Die Zahlen werden Elemente genannt. Die Elemente von A sind a_ij, die von B sind b_kl usw.. Einzelne Elemente von A werden über die Indices i für die Zeilennummer und j für die Spaltennummer identifiziert. Die Werte von i liegen im Bereich von 1..m, die von j im Bereich von 1..n. Einzelne Spalten können als Spaltenvektor, einzelne Zeilen als Zeilenvektor interpretiert werden.

Rechnen mit Matrizen

Gleichheit

Zwei Matrizen A und B sind genau dann gleich, wenn beide vom gleichen Typ, also m×n Matrizen sind und alle ensprechenden Elemente gleich sind, also a_ij = b_ij.

Vervielfachen

eine Matrix vervielfachen

Ein Matrix A kann wie ein Vektor mit einer reellen Zahl r multipliziert werden, indem jedes Element von A mit r multipliziert wird. Man erhält so des r-fache der Matrix A.
r * A = r * (a_ij) = (r * a_ij).

Es gelten:
Kommutativgesetz: r * A = A * r (Multiplikation mit r von links ist analog zu der Multiplikation von rechts definiert.)
Assoziativgesetz: r * (s * A) = (r * s) * A
Distributivgesetze: (r + s) * A = r * A + s * A und r * (A + B) = r * A + r * B
Analog dazu kann eine Matrix durch eine reelle Zahl r ≠ 0 dividiert werden, indem sie mit 1/r multipliziert wird.

Summieren

Summe zweier Matrizen

Die Summe zweier Matrizen wird, wie bei Vektoren, elementweise gebildet. D.h. eine Summe kann nur gebildet werden, wenn die beiden Matrizen die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben, also vom gleichen Typ sind.
A + B = (a_ij) + (b_ij) = (a_ij + b_ij).

Für Summen gelten:
Kommutativgesetz:A + B = B + A und
Assoziativgesetz:(A + B) + C = A + (B + C)

Die Differenz zweier Matrizen wird anlog zur Summe gebildet.

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Matrix Vektor Produkt

Das Produkt einer Matrix A mit einem Vektor u wird als Skalarprodukt des jeweiligen Zeilenvektors von A mit u gebildet. Das Ergebnis ist der Vektor v. Das Produkt lässt sich nur bilden, falls die Spaltenlzahl von A gleich der Zeilenzahl von u ist.
A * u = v

Multiplikation zweier Matrizen

Produkt zweier Matrizen

Das Produkt zweier Matrizen A und B wird analog zum vorherigen Beispiel gebildet. Matrix A wird in Zeilenvektoren und Matrix B in Spaltenvektoren 'aufgeteilt'. Anschließend werden die jeweiligen Skalarprodukte gebildet. Jedes Element c_ml von C wird gebildet als Skalarprodukt des m-ten Zeilenvektors von A mit dem l-ten Spaltenvektor von B.
D.h. wenn A eine m×n Matrix ist, muss B eine n×l Matrix sein. Das Ergebnis C ist eine m×l Matrix.
A * B = C
D.h. die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ!
Es gelten:
Assoziativgesetz: (A * B) * C = A * (B * C)
Distributivgesetz: (A + B) * C = A * C + B * C und
A * (B + C) = A * B + A * C
falls die Matrizen A, B und C von geeignetem Typ sind, so daß die jeweiligen Produkte existieren.

Nullmatrix

Eine Nullmatrix ist eine Matrix, deren Komponenten ausschließlich aus 0en besteht. Sie ist das neuterale Element der Addition.

Einheitsmatrix

Einheitsmatrix

Eine quadratische n×n Matrix E_n wird Einheitsmatrix genannt, wenn alle Elemente ihrer Hauptdiagonale gleich 1 und alle anderen Elemente gleich 0 sind. Die Hauptdiagonale ist die Diagonale von links oben nach rechts unten. Für ihre Elemente e_ij gilt i = j. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation. Für eine m×n Matrix A gilt:
E_m * A = A und A * E_n = A.

Inverse Matrix

Zwei quadratische n×n Matrizen A und B sind zueinander invers, wenn für sie gilt: A * B = B * A = E. Die zu A inverse Matrix wird als A^-1 bezeichnet.

Transponierte Matrix

Eine transponierte Matrix ist eine Matrix, deren Komponenten entlang der Hauptdiagonale gespiegelt sind. Transponieren nicht quadratischter Martizen ändert deren Typ. Aus einer mn Matrix wird durch transponieren eine nm Matrix. Die transponierte Matrix wird als A^T geschrieben.
Es gilt: (A * B)^T = B^T * A^T.
Transponieren vertauscht sozusagen die Reihenfolge der Multiplikation.

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