Matrizen

Was ist das?

Beispiel Matrix
eine Matrix

In aller Kürze: Matrizen sind in Klammern eingeschlossene Tabellen (oft mit reellen Zahlen) in rechteckiger Anordnung. Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten wird m×n Matrix genannt. Die Zahlen werden Elemente genannt. Die Elemente von A sind aij, die von B sind bkl usw.. Einzelne Elemente von A werden über die Indices i für die Zeilennummer und j für die Spaltennummer identifiziert. Die Werte von i liegen im Bereich von 1..m, die von j im Bereich von 1..n. Einzelne Spalten können als Spaltenvektor, einzelne Zeilen als Zeilenvektor interpretiert werden.

Rechnen mit Matrizen

Gleichheit

Zwei Matrizen A und B sind genau dann gleich, wenn beide vom gleichen Typ, also m×n Matrizen sind und alle ensprechenden Elemente gleich sind, also aij = bij.

Vervielfachen

eine Matrix vervielfachen
eine Matrix vervielfachen

Ein Matrix A kann wie ein Vektor mit einer reellen Zahl r multipliziert werden, indem jedes Element von A mit r multipliziert wird. Man erhält so des r-fache der Matrix A.
r * A = r * (aij) = (r * aij).

Es gelten:
Kommutativgesetz: r * A = A * r (Multiplikation mit r von links ist analog zu der Multiplikation von rechts definiert.)
Assoziativgesetz: r * (s * A) = (r * s)*A
Distributivgesetze: (r + s) * A = r * A + s * A und r * (A + B) = r * A + r * B
Analog dazu kann eine Matrix durch eine reelle Zahl r ≠ 0 dividiert werden, indem sie mit 1/r multipliziert wird.

Summieren

Summe zweier Matrizen
Summe zweier Matrizen

Die Summe zweier Matrizen wird, wie bei Vektoren, elementweise gebildet. D.h. eine Summe kann nur gebildet werden, wenn die beiden Matrizen die gleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben, also vom gleichen Typ sind.
A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij).

Für Summen gelten:
Kommutativgesetz:A + B = B + A und
Assoziativgesetz:(A + B) + C = A + (B + C)

Die Differenz zweier Matrizen wird anlog zur Summe gebildet.

Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Matrix Vektor Produkt
Matrix Vektor Produkt

Das Produkt einer Matrix A mit einem Vektor u wird als Skalarprodukt des jeweiligen Zeilenvektors von A mit u gebildet. Das Ergebnis ist der Vektor v. Das Produkt lässt sich nur bilden, falls die Spaltenlzahl von A gleich der Zeilenzahl von u ist.
A * u = v

Multiplikation zweier Matrizen

Produkt zweier Matrizen
Produkt zweier Matrizen

Das Produkt zweier Matrizen A und B wird analog zum vorherigen Beispiel gebildet. Matrix A wird in Zeilenvektoren und Matrix B in Spaltenvektoren 'aufgeteilt'. Anschließend werden die jeweiligen Skalarprodukte gebildet. Jedes Element cml von C wird gebildet als Skalarprodukt des m-ten Zeilenvektors von A mit dem l-ten Spaltenvektor von B.
D.h. wenn A eine m×n Matrix ist, muß B eine n×l Matrix sein. Das Ergebnis C ist eine m×l Matrix.
A * B = C
D.h. die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ!
Es gelten:
Assoziativgesetz: (A * B) * C = A * (B * C)
Distributivgesetz: (A + B) * C = A * C + B) * C und
A * (B + C) = A * B + A) * C
falls die Matrizen A, B und C von geeignetem Typ sind, so daß die jeweiligen Produkte existieren.

Einheitsmatrix

Einheitsmatrix
Einheitsmatrix

Eine quadratische n×n Matrix En wird Einheitsmatrix genannt, wenn alle Elemente ihrer Hauptdiagonale gleich 1 und alle anderen Elemente gleich 0 sind. Die Hauptdiagonale ist die Diagonale von links oben nach rechts unten. Für ihre Elemente eij gilt i = j. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Matrizenmultiplikation. Für eine m×n Matrix A gilt:
Em * A = A und A * En = A.

Inverse Matrix

Zwei quadratische n×n Matrizen A und B sind zueinander invers, wenn für sie gilt: A * B = B * A = E. Die zu A inverse Matrix wird als A-1 bezeichnet.